Unconstrained Optimization
ให้ $x\in\mathbf{R}^n$ เป็นเวกเตอร์ขนาด $n$ ของจำนวนจริง และฟังก์ชัน $f:\mathbf{R}^n\rightarrow\mathbf{R}$ ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างน้อยถึงอันดับที่สอง แอปพลิเคชันนี้ใช้คำนวณหา local minimizer $x^\star$ ของ $f(x)$ จากปัญหา unconstrained optimization \[ \min_{x}f(x) \] โดยไม่มีเงื่อนไขอย่างอื่นเกี่ยวกับตัวแปร $x$
ในการคำนวณเราจะใช้ วิธีของนิวตัน ร่วมกับ trust region ซึ่งเราต้องใช้เวกเตอร์เกรเดียนและเมตริกซ์เฮสเซียนของ $f(x)$ และค่าทั้งสองจะคำนวณด้วย เวกเตอร์เกรเดียน และ เมตริกซ์เฮสเซียน
ข้อมูลอินพุท
ในส่วนของ $f(x)$ แอปพลิเคชันนี้ใช้ข้อมูลอินพุทแบบเดียวกับ
เวกเตอร์เกรเดียน
ส่วนค่าเริ่มต้น $x_0$ พิจารณาดังนี้
ถ้าใส่มาแอปพลิเคชันจะใช้ค่านี้
แต่ถ้าไม่ใส่มาและเซตของ $[0,1]^n$ เป็นสับเซตของโดเมนของ $f$ ค่า $x_0$ จะถูกให้ค่าอัตโนมัติแบบสุ่มโดยตัวแอปพลิเคชันเอง
หมายเหตุ
นอกจากคำนวณหาคำตอบของ unconstrained optimization แล้วแอปพลิเคชันนี้ยังสามารถแก้ปัญหาของระบบสมการไม่เชิงเส้นบางตัวได้
โดยการเปลี่ยนระบบสมการดังกล่าวเป็น
objective function $f(x)$ ดังนี้ เราต้องการหาคำตอบของ
\[ \begin{array}{c} f_1(x_1,\ldots,x_n) = 0 \\ f_2(x_1,\ldots,x_n) = 0 \\ \cdots \\ f_n(x_1,\ldots,x_n) = 0 \end{array} \]
โดยให้ objective function $f = f_1^2 + f_2^2 + \cdots + f_n^2$
ถ้าแอปพลิเคชันนี้หา $x^\star$ ที่ทำให้ $f(x^\star)=0$ แล้ว
$x^\star$ จะเป็นคำตอบของระบบสมการด้วย
ยกตัวอย่างเช่น ระบบสมการไม่เชิงเส้น
\[ \begin{align}
3x_1 - \cos(x_2x_3) - \frac{3}{2} &= 0 \\
4x_1^2 - 625x_2^2 + 2x_2 -1 &= 0 \\
\exp(-x_1x_2) + 20x_3 + \frac{10\pi-3}{3} &= 0
\end{align}
\]
จะได้ objective function ของ unconstrained optimization ดังนี้
\[ \begin{array}{rcl} f(x_1,x_2,x_3) &=& \left(3x_1-\cos(x_2x_3)-\frac{3}{2}\right)^2 \\ && + \left(4x_1^2-625x_2^2+2x_2-1\right)^2 \\ && + \left(\exp(-x_1x_2)+20x_3+\frac{1}{3}(10\pi-3)\right)^2 \end{array} \]
เมื่อคำนวณด้วยแอปพลิเคชันนี้จะได้ $x^\star$ เป็น $(0.8332, 0.0549, -0.5214)$ และ $f(x^\star)=0$
ดังนั้น
$x^\star$ เป็นคำตอบของระบบสมการดังกล่าว