โจทย์ฟิสิกส์ ชุดที่ 1

หาความเร่งของมวลทั้งสองจาก \[ \begin{array}{rcl} \mathbf{F} &=& m\mathbf{a} \\ F-\mu Mg-\mu mg &=& (M+m) a \\ a &=& \frac{F-\mu(M+m)g}{M+m} \end{array} \] หาความตึงเส้นเชือกจากมวล $m$ \[ \begin{array}{rcl} T-\mu mg &=& ma \\ T &=& \mu mg + m\left(\frac{F-\mu(M+m)g}{M+m}\right)\\ T &=& \frac{mF}{M+m} \end{array} \]

เวลาที่ $\alpha$ หยุดนิ่งเท่ากับเวลาที่ $\beta$ วิ่งไปชนกำแพงและกระดอนกลับซึ่งเท่ากับ $\frac{0.1+0.1}{0.1}=2$ วินาที

ให้ระยะทางที่เด็กเคลื่อนที่ไปได้ทั้งหมดเป็น $s$ โดยที่ \[ s=0.25+0.25\left(\frac{3}{4}\right)+0.25\left(\frac{3}{4}\right)^2+\cdots=0.25\left(\frac{1}{1-\frac{3}{4}}\right)=1 \] เพราะฉะนั้นงานเท่ากับ $20\times 1=20$ จูล

เป็นการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์ที่ขนาดของความเร็วต้นในดิ่งเท่ากับขนาดของความเร็วในแนวราบ $\left(\tan 45=\frac{u_y}{u_x}=1\right)$ คือ 20 เมตรต่อวินาที เราหาเวลาที่หินเคลื่อนที่ในอากาศดังนี้ \[ \begin{array}{rcl} h &=& u_yt-\frac{1}{2}gt^2,\quad g\;\text{เป็นลบเพราะทิศทางสวนกันกับ}\;u_y \\ 0 &=& 20t-5t^2 \\ t &=& 4 \end{array} \] และเราจะได้ระยะทางในแนวราบเท่า $u_xt=20\times 4=80$ เมตร

จากความสัมพันธ์ $E_k=\frac{3}{2}Nk_BT$ และ $PV=Nk_BT$ เมื่อหารกันและจัดรูปใหม่จะได้ $\frac{E_k}{V}=\frac{3}{2}a$

ที่อุณหภูมิ 27 องศาเซลเซียส พลังงานจลน์เฉลี่ยของโมเลกุล $E_{k1}=\frac{3}{2}Nk_B(273+27)$ และที่อุณหภูมิ 21 องศาเซลเซียส พลังงานจลน์เฉลี่ยของโมเลกุล $E_{k2}=\frac{3}{2}Nk_B(273+21)$ แล้วเราจะได้ \[ \begin{array}{rcl} \frac{E_{k2}}{E_{k1}} &=& \frac{273+21}{273+27} \\ \frac{E_{k2}}{E_{k1}}-1 &=& \frac{273+21}{273+27}-1 \\ \frac{E_{k2}-E_{k1}}{E_{k1}} &=& \frac{-2}{100} \end{array} \] นั่นคือพลังงานจลน์เฉลี่ยของโมเลกุลของก๊าซจะลดลง 2 เปอร์เซ็นต์

เมื่อรถเลี้ยวโค้งจะมีแรงเสียดทานระหว่างล้อรถกับถนนเป็นแรงสู่ศูนย์กลางตามความสัมพันธ์ $f=\mu mg=m\frac{v^2}{r}$ หรือ $\mu g=\frac{v^2}{r}$ ถ้าให้ $\mu_0$ เป็นสัมประสิทธิ์ของแรงเสียดทานระหว่างล้อกับพื้นถนนขณะฝนไม่ตก และ $\mu_1$ เป็นสัมประสิทธิ์ของแรงเสียดทานระหว่างล้อกับพื้นถนนขณะฝนตก เราจะได้ \[ \begin{array}{rcl} \mu_0 g &=& \frac{v_0^2}{r} \\ \mu_1 g &=& \frac{v_1^2}{r} \\ \frac{\mu_0}{\mu_1} &=& \frac{v_0^2}{v_1^2} \\ v_0 &=& \sqrt{\frac{\mu_0}{\mu_1}}v_1=\sqrt{4}\times 25=50 \end{array} \] นั่นคือเลี้ยวโค้งด้วยความเร็วสูงสุด 50 กิโลเมตรต่อชั่วโมง

คาบการแกว่งของลูกตุ้ม $T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ ขึ้นอยู่กับความยาวของเชือกแต่ไม่ขึ้นกับมวล เพราะฉะนั้น $\frac{T_2}{T_1}=\sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$ และเราจะได้ \[ \begin{array}{rcl} T_2 &=& \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}T_1 = \sqrt{\frac{1}{2}}\times 2.8=1.9799\;\text{วินาที} \end{array} \]

ถ้าให้ $T$ เป็นคาบของการโคจรรอบโลกของวัตถุ และ $R$ เป็นระยะที่วัตถุอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของโลก เราจะได้ความสัมพันธ์ \[\frac{T^2}{R^3}=\text{ค่าคงที}\] เมื่อเปรียบเทียบการโคจรรอบโลกของวัตถุสองก้อนเราจะได้ \[ \begin{array}{rcl} \frac{T_2^2}{R_2^3} &=& \frac{T_1^2}{R_1^3} \\ R_2 &=& \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\frac{2}{3}} R_1 \\ &=& \left(\frac{8}{27}\right)^{\frac{2}{3}} 60R_e = 26.6667R_e \end{array} \] นั่นคือดาวเทียมอยู่ห่างจากศูนย์กลางของโลกเท่ากับ 26.6667 เท่าของรัศมีโลก