โจทย์คณิตศาสตร์พร้อมเฉลย ชุดที่ 1
-
จงหาค่าที่มากกว่าระหว่าง $\sqrt{99}+\sqrt{101}$ และ $20$
แนวทางการแก้ปัญหา:
จะสังเกตว่าปัญหานี้เกี่ยวข้องกับ $10$ คือต้องการหาค่าที่มากกว่าระหว่าง $\sqrt{10^2-1}+\sqrt{10^2+1}$ และ $2\times 10$ ซึ่งอาจจะง่ายกว่าถ้าเราเปลี่ยนปัญหาให้อยู่ในรูปทั่วไปโดยการแทน $10$ ด้วยจำนวนเต็มบวก $n$ แล้วปัญหาก็จะกลายเป็นการเปรียบเทียบระหว่าง $\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2+1}$ และ $2n$ ดังนี้ เรารู้ว่า $n^4-1 < n^4$ ซึ่งสามารถจัดรูปใหม่ได้เป็น \[ \begin{array}{rcl} (n^2-1)(n^2+1) & < & n^4 \\ \sqrt{n^2-1}\sqrt{n^2+1} & < & n^2 \\ (n^2-1)+2\sqrt{n^2-1}\sqrt{n^2+1}+(n^2+1) & < & (n^2-1)+2n^2 +(n^2+1) \\ \left(\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2+1}\right)^2 & < & 4n^2 \\ \sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2+1} & < & 2n \end{array} \] ซึ่งอสมการนี้จะเป็นจริงเมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับ $1$ และปัญหาข้อนี้เป็นกรณีเฉพาะของอสมการนี้เท่านั้น โดยมี $n=10$ ซึ่งจะได้ $\sqrt{99}+\sqrt{101} < 20 \quad\blacksquare$ -
จงหาค่าที่มากกว่าของคู่ของจำนวนจริงบวกต่อไปนี้ ระหว่าง $\sqrt{5}^\sqrt{7}$ กับ $\sqrt{7}^\sqrt{5}$,
ระหว่าง $\mathrm{e}^\pi$ กับ $\pi^\mathrm{e}$, ระหว่าง $2023^{2566}$ กับ $2566^{2023}$
แนวทางการแก้ปัญหา:
ถ้ามองในลักษณะทั่วไป ปัญหาข้อนี้เป็นการเปรียบเทียบระหว่าง $a^b$ กับ $b^a$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ เราจะสมมติให้ $a^b \leqslant b^a$ (หรือจะสมมติให้ $b^a \leqslant a^b$ ก็ได้) จากนั้นหาค่า $\ln$ (ลอการิทึมธรรมชาติ) ทั้งสองข้างและจัดรูปใหม่เราจะได้ $\displaystyle\frac{\ln a}{a}\leqslant\frac{\ln b}{b}$ ซึ่งอยู่ในรูปที่เหมือนกันต่างกันแค่ $a$ กับ $b$ ดังนั้นเราจะศึกษารูปแบบนี้โดยอาศัยฟังก์ชัน $\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}$ เมื่อ $x$ เป็นจำนวนจริงบวก- หาอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง เราจะได้ $\displaystyle f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}\left\{ \begin{array}{ll} > 0 & \text{เมื่อ}\; x < \mathrm{e} \\ = 0 & \text{เมื่อ}\; x = \mathrm{e} \\ < 0 & \text{เมื่อ}\; x > \mathrm{e} \end{array} \right. $
- หาอนุพันธ์อันดับที่สอง เราจะได้ $\displaystyle f''(x)=\frac{2\ln x-3}{x^3}$
- เนื่องจาก $\sqrt{7} > \sqrt{5}$ และต่างก็มีค่าน้อยกว่า $\mathrm{e}$ ดังนั้น $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม เราจะได้ $\displaystyle\frac{\ln\sqrt{7}}{\sqrt{7}} > \frac{\ln\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ หรือ $\sqrt{7}^\sqrt{5} > \sqrt{5}^\sqrt{7}$
- เนื่องจาก $2566 > 2023$ และต่างก็มีค่ามากกว่า $\mathrm{e}$ ดังนั้น $f$ เป็นฟังก์ชันลด เราจะได้ $\displaystyle\frac{\ln 2566}{2566} < \frac{\ln 2023}{2023}$ หรือ $2566^{2023} < 2023^{2566}$
-
ให้ $x$ เป็นจำนวนจริงและกำหนดให้ฟังก์ชัน $f(x)=\mathrm{e}^{x-1}-x$ จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $f(x)$
มีค่าน้อยที่สุดและค่าน้อยที่สุดของ $f$ นี้เป็นเท่าใด
แนวทางการแก้ปัญหา:
ค่าต่ำสุดของฟังก์ชันสามารถคำนวณโดยใช้แอปพลิเคชัน Unconstrained Optimization ซึ่งปัญหาข้อนี้เราใส่ฟังก์ชันเป็นexp(x1-1) - x1 แล้วคลิก คำนวณ จะได้ค่าต่ำสุดของ $f$ คือ $0$ ที่ $x=1$
ในการหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน เราจะพิจารณาจากอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งและอนุพันธ์อันดับที่สอง ดังนี้ อนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง $f'(x)=\mathrm{e}^{x-1}-1$ ส่วนอนุพันธ์อันดับที่สองจะได้ $f''(x)=\mathrm{e}^{x-1}$ เนื่องจาก $f''(x)$ มากกว่าศูนย์เสมอ จะได้ว่า $f(x)$ มีค่าต่ำสุดอย่างเดียว(ไม่มีค่าสูงสุด) และเกิดขึ้นเมื่อ $f'(x)=0$ ที่จุด $x=1$ และได้ค่าน้อยที่สุดของ $f$ เป็น $f(1)=\mathrm{e}^{1-1}-1=0$ ดังกราฟข้างล่าง
จากผลตรงนี้เราจะได้อสมการ $f(x)=\mathrm{e}^{x-1}-x\geqslant 0$ หรือ $\mathrm{e}^{x-1}\geqslant x$ โดยที่ $x$ เป็นจำนวนจริงใดๆ และทั้งสองข้างจะเท่ากันก็ต่อเมื่อ $x=1 \quad \blacksquare$ -
จงหาค่าของ $\sqrt{100\times 101\times 102\times 103+1}$
แนวทางการแก้ปัญหา:
การเปลี่ยนให้อยู่ในรูปของตัวแปร อาจจะทำให้ปัญหานี้ดูง่ายขึ้นดังนี้ ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก แล้วเราจะได้ \[ \begin{array}{rcl} \sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1} & = & \sqrt{n(n+3)(n+1)(n+2)+1} \\ & = & \sqrt{(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1} \\ & = & \sqrt{(n^2+3n+1-1)(n^2+3n+1+1)+1} \\ & = & \sqrt{(n^2+3n+1)^2-1^2+1} \\ & = & n^2 +3n +1 \end{array} \] นั่นคือจำนวนเต็มบวกที่อยู่ในรูป $\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}$ จะมีรากที่สองเป็นจำนวนเต็มบวกเสมอ ตัวอย่างเช่น $\sqrt{1(1+1)(1+2)(1+3)+1}=\sqrt{25}$ หรือ $\sqrt{2(2+1)(2+2)(2+3)+1}=\sqrt{121}$ และเมื่อ $n=100$ เราจะได้ $\sqrt{100\times 101\times 102\times 103+1}=100^2+3\times 100+1=10301\quad \blacksquare$ -
ถ้า $x$ เป็นจำนวนจริงและกำหนดให้ $p(x)$ เป็นพหุนามดีกรี 4 ที่มีคุณสมบัติดังนี้ $p(x)\geqslant x$ และ $p(1)=1$,
$\; p(2)=4$, $\; p(3)=3$ จงหา $p(x)$
แนวทางการแก้ปัญหา:
เพื่อให้การแก้ปัญหานี้ง่ายขึ้นเราจะใช้คุณสมบัติเกี่ยวกับรากของพหุนาม ดังนี้เพื่อความสะดวก เราให้ $q(x)=p(x)-x$ และโดยใช้คุณสมบัติของ $p(x)$ ที่โจทย์ให้มาเราจะได้ $q(x)\geqslant 0$, $\;q(1)=0$, $\;q(2)=2$, $\;q(3)=0$ เนื่องจากดีกรีของ $q(x)$ เป็น 4 ซึ่งเป็นเลขคู่ เราจะได้ $q(x)$ เข้าสู่อนันต์เมื่อ $x\rightarrow\pm\infty$ และเพราะว่า $q(x)\geqslant 0$ จะได้ $q(x)$ ไม่ตัดแกน $x$ แต่สัมผัสแกนที่ $x=1$ และ $x=3$ ซึ่งหมายความว่า $q'(1)=q'(3)=0$ โดยอาศัยคุณสมบัติเกี่ยวกับรากของพหุนามข้างต้นเราจะได้ทั้ง $(x-1)^2$ และ $(x-3)^2$ เป็นตัวประกอบของ $q(x)$ และเนื่องจากตัวประกอบทั้งสองมีดีกรีรวมกันเป็น 4 เราจะได้ $q(x)$ ในรูป $q(x)=c(x-1)^2(x-3)^2$ โดย $c$ เป็นค่าคงที่และหาได้จาก $2=q(2)=c(2-1)^2(2-3)^2$ ซึ่งจะได้ $c=2$ และได้ $q(x)=2(x-1)^2(x-3)^2$ และสุดท้ายได้ $p(x)=2(x-1)^2(x-3)^2+x\quad\blacksquare$ให้ $A(x)$ เป็นพหุนามของจำนวนจริง และ $A'(x)$ เป็นอนุพันธ์ของมัน ถ้า $a$ เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ $A(a)=A'(a)=0$ แล้วจะได้ $(x-a)^2$ เป็นตัวประกอบของ $A(x)$
ซึ่งแสดงได้ดังนี้ เนื่องจาก $A(a)=0$ เราจะได้ $(x-a)$ เป็นตัวประกอบของ $A(x)$ ถ้าเขียนในรูปของตัวประกอบเราจะได้ $A(x)=(x-a)B(x)$ โดย $B(x)$ เป็นตัวประกอบอีกตัวหนึ่งของ $A(x)$ และมีดีกรีน้อยกว่าของ $A(x)$ อยู่หนึ่ง ต่อมาเราหาอนุพันธ์ของ $A(x)$ ซึ่งจะได้ $A'(x)=(x-a)B'(x)+B(x)$ เมื่อแทนค่า $x=a$ เราจะได้ $0=A'(a)=B(a)$ ซึ่งหมายความว่า $(x-a)$ ยังเป็นตัวประกอบของ $B(x)$ อีกด้วย นั่นคือ $(x-a)^2$ เป็นตัวประกอบของ $A(x)\quad\square$