โจทย์คณิตศาสตร์พร้อมเฉลย ชุดที่ 2

ก่อนเริ่มทำโจทย์ เรามารู้จักอสมการ(ที่อาจจะช่วยให้สะดวกขึ้นในการแก้โจทย์ในชุดนี้หรือชุดต่อๆไป) เกี่ยวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต( $AM$ ) ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต( $GM$ ) และค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิค( $HM$ ) ของจำนวนจริงบวก $a_{1}, \dots, a_{n}$ ที่นิยามดังนี้ $AM = \frac{a_{1} + \dots + a_{n}}{n}, GM = \sqrt[n]{a_{1} \times \dots \times a_{n}}, HM = \frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \dots + \frac{1}{a_{n}}}$ แล้วเราจะได้อสมการ $AM ⩾ GM ⩾ HM$ และอสมการจะกลายเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $a_{1} = \dots = a_{n}$ นั่นคือค่าทั้งหมดเท่ากัน

อสมการดังกล่าวสามารถแสดงได้ดังนี้ จากข้อ 3 ของ โจทย์คณิตศาสตร์พร้อมเฉลย ชุดที่ 1 เรารู้ว่า $e^{x - 1} ⩾ x$ ถ้าเราให้ $α_{i} = \frac{a_{i}}{AM}$ แล้วเราจะได้ $\begin{array}{lcl} e^{α_{1} - 1} & ⩾ & α_{1} \\ e^{α_{2} - 1} & ⩾ & α_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ e^{α_{n} - 1} & ⩾ & α_{n} \end{array}$ เมื่อเอาอสมการทั้งหมดคูณกัน เราจะได้ $e^{(α_{1} + \dots + α_{n}) - n} = e^{0} ⩾ α_{1} \dots α_{n} = \frac{a_{1} \dots a_{n}}{{AM}^{n}}$ แต่ $e^{0} = 1$ ทำให้เราได้ ${AM}^{n} ⩾ a_{1} \dots a_{n}$ หรือ $AM ⩾ \sqrt[n]{a_{1} \dots a_{n}}$ นั่นคือ $AM ⩾ GM$ ถ้าเราใช้อสมการนี้กับ $\frac{1}{a_{1}}, \dots, \frac{1}{a_{n}}$ เราจะได้ $\frac{\frac{1}{a_{1}} + \dots + \frac{1}{a_{n}}}{n} ⩾ \sqrt[n]{(\frac{1}{a_{1}} \dots \frac{1}{a_{n}})}$ จัดรูปใหม่ $\sqrt[n]{a_{1} \dots a_{n}} ⩾ \frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \dots + \frac{1}{a_{n}}}$ หรือ $GM ⩾ HM$ ซึ่งสุดท้ายแล้วเราจะได้อสมการสำหรับสามค่าเฉลี่ยเป็น $AM ⩾ GM ⩾ HM ◻$

จงหาค่าที่มากกว่าระหว่าง $1012^{2023}$ และ $2023!$
แนวทางการหาคำตอบ:
เนื่องจาก $1012 = \frac{2023 + 1}{2}$ ถ้าเราแทน $2023$ ด้วย $n$ เราน่าจะแก้ปัญหาได้ดีกว่า (อย่างน้อยก็ไม่ต้องคำนวณเกี่ยวกับตัวเลข) และโดยใช้อสมการ $AM > GM$ กับจำนวนจริงบวก $1, 2, \dots, n$ เราจะได้ $\begin{array}{rcl} \frac{1 + 2 + \dots + n}{n} & > & \sqrt[n]{1 \times 2 \times \dots \times n} \\ \frac{n (n + 1)}{2 n} & > & \sqrt[n]{n!} \\ {(\frac{n + 1}{2})}^{n} & > & n! \end{array}$ จะสังเกตว่าสำหรับปัญหานี้อสมการจะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $n = 1$ เท่านั้น นอกเหนือจากนี้แล้วค่าทางซ้ายมือจะมากกว่าค่าทางขวามือเสมอ ดังนั้นเราจะได้ $1012^{2023} > 2023! ◼$
ให้ $a$ กับ $b$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าที่น้อยที่สุดของผลบวก $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$
แนวทางการหาคำตอบ:
ปัญหาข้อนี้จะแก้ได้ง่ายถ้าใช้อสมการ $AM ⩾ GM$ ดังนี้ $\begin{array}{rcl} \frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{a}}{2} & ⩾ & \sqrt{\frac{a}{b} \times \frac{b}{a}} \\ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} & ⩾ & 2 \end{array}$ นั่นคือค่าที่น้อยที่สุดของผลบวกคือ $2$ และเกิดขึ้นเมื่อ $\frac{a}{b} = \frac{b}{a}$ หรือ $a = b ◼$
จงหาค่าที่มากกว่าระหว่าง $23^{23}$ และ $22^{24}$
แนวทางการหาคำตอบ:
เราจะมองปัญหานี้ในรูปแบบทั่วไปโดยการเปรียบเทียบระหว่าง $n^{n}$ กับ $(n - 1)^{n + 1}$ ถ้าเราหาค่าลอการิทึมธรรมชาติของทั้งสองเทอม แล้วจัดรูปอสมการใหม่ เราจะพบว่าเรากำลังเปรียบเทียบระหว่าง $\frac{\ln n}{n + 1}$ กับ $\frac{\ln (n - 1)}{(n - 1) + 1}$ ซึ่งอยู่ในรูปแบบเดียวกันและเราจะใช้รูปแบบนี้ในการแก้ปัญหานี้ ให้ฟังก์ชัน $f (x) = \frac{\ln x}{x + 1}$ เราจะได้อนุพันธ์ $f^{'} (x) = \frac{1 + \frac{1}{x} - \ln x}{(x + 1)^{2}}$ ถ้า $f^{'} (x) = 0$ เราจะได้ $1 + \frac{1}{x} - \ln x = 0$ การหาคำตอบของสมการนี้ไม่ง่าย (ยกเว้นใช้แอปพลิเคชัน สมการไม่เชิงเส้น โดยใส่ 1+1/x-log(x) ในช่อง f(x) และคลิก คำนวณ จะได้คำตอบเป็น 3.5911) แต่เราจะพิจารณาดังนี้ สังเกตว่า $f^{'} (e) = 1 + \frac{1}{e} - \ln e > 0$ แต่ $f^{'} (e^{2}) = 1 + \frac{1}{e^{2}} - \ln e^{2} < 0$ แสดงว่าค่า $x^{⋆}$ ที่ทำให้ $f^{'} (x^{⋆}) = 0$ ต้องอยู่ในช่วง $e < x^{⋆} < e^{2}$ และเนื่องจาก $\ln x$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มขณะที่ $1 + \frac{1}{x}$ เป็นฟังก์ชันลด เราจะได้ $x^{⋆}$ มีเพียงค่าเดียว ดังนั้น $f (x)$ จะคุณสมบัติดังนี้ $\frac{\ln x}{x + 1} {\begin{cases} เป็นฟังก์ชันเพิ่มเมื่อ & x < x^{⋆} \\ เป็นฟังก์ชันลดเมื่อ & x > x^{⋆} \end{cases}$ จากตรงนี้เราสามารถที่จะตอบคำถามได้มากกว่าที่โจทย์ต้องการ เช่น $2566 > 2023 > x^{⋆}$ เราจะได้ $\frac{\ln 2566}{2566 + 1} < \frac{\ln 2023}{2023 + 1}$ หรือ $2566^{2024} < 2023^{2567}$ ดังนั้นเราตอบคำถามของโจทย์ได้ว่า $\frac{\ln 23}{23 + 1} < \frac{\ln 22}{22 + 1}$ หรือ $23^{23} < 22^{24} ◼$
ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ จงหาตัวหารร่วมมากของ $21 n + 4$ และ $14 n + 3$
แนวทางการหาคำตอบ:
การหาตัวหารร่วมมาก (ใช้สัญลักษณ์ $gcd$ ) สำหรับโจทย์ข้อนี้ใช้วิธีของยูคลิดจะได้ดังนี้ $\begin{array}{rcl} gcd (21 n + 4, 14 n + 3) & = & gcd (เศษของการหาร (21 n + 4) \div (14 n + 3), 14 n + 3) \\ = & gcd (7 n + 1, เศษของการหาร (14 n + 3) \div (7 n + 1)) \\ = & gcd (7 n + 1, 1) เศษของการหารเป็น 0 \\ = & 1 \end{array}$ หลักการคือ เราจะเก็บตัวที่น้อยกว่าและเศษของการหารตัวที่มากกว่าด้วยตัวที่น้อยกว่าเพื่อใช้ในการคำนวณถัดไป จนกว่าการหารจะลง และตัวหารที่หารลงตัวคือตัวหารร่วมมาก เพราะฉะนั้น $gcd (21 n + 4, 14 n + 3) = 1$ นั่นคือ $21 n + 4$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ $14 n + 3 ◼$
ให้ $x$ เป็นจำนวนจริง จงแก้สมการ $\sqrt{x + 17} = x^{2} - 17$
แนวทางการหาคำตอบ:
(คำตอบของสมการนี้สามารถคำนวณได้ด้วยแอปพลิเคชัน สมการไม่เชิงเส้น โดยใส่ sqrt(x+17)-x^2+17 ในช่องฟังก์ชัน แต่ถ้าจัดรูปสมการใหม่เป็นพหุนามก็จะหารากทั้งหมดได้ด้วยแอปพลิเคชัย รากของพหุนาม)
ถ้า $r$ เป็นคำตอบของสมการนี้มันจะต้องสอดคล้องกับเงื่อนไข $r + 17 ⩾ 0$ และ $r^{2} - 17 ⩾ 0$ ให้ $S$ เป็นเซตของเงื่อนไขดังกล่าว เราจะได้ $S = [- 17, - \sqrt{17}] \cup [\sqrt{17}, \infty)$ และคำตอบของสมการถ้ามีจะอยู่ในเซต $S$ เท่านั้น
เพื่อลดการคำนวณที่ไม่จำเป็นเราจะแทน $17$ ด้วย $a$ แล้วเราจะได้ $\begin{array}{rcl} \sqrt{x + a} & = & x^{2} - a \\ x + a & = & x^{4} - 2 x^{2} a + a^{2} \\ a^{2} - (2 x^{2} + 1) a + x^{4} - x & = & 0 \\ a & = & \frac{(2 x^{2} + 1) \pm \sqrt{(2 x^{2} + 1)^{2} - 4 (x^{4} - x)}}{2} \\ = & \frac{(2 x^{2} + 1) \pm (2 x + 1)}{2} \\ = & x^{2} + x + 1, x^{2} - x \end{array}$ และเมื่อแทน $a$ ด้วย $17$ เราจะได้สองสมการ $\begin{array}{rclrcl} x^{2} + x - 16 & = & 0, & x^{2} - x - 17 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 1 \pm \sqrt{65}}{2}, & x & = & \frac{1 \pm \sqrt{69}}{2} \end{array}$ จากสี่ค่าที่คำนวณได้พบว่า $\frac{1 - \sqrt{69}}{2}$ กับ $\frac{- 1 + \sqrt{65}}{2}$ ไม่อยู่ใน $S$ เพราะฉะนั้นคำตอบของสมการนี้จึงมีเพียงสองค่าคือ $\frac{- 1 - \sqrt{69}}{2}$ และ $\frac{1 + \sqrt{69}}{2} ◼$