โจทย์คณิตศาสตร์พร้อมเฉลย ชุดที่ 2

ก่อนเริ่มทำโจทย์ เรามารู้จักอสมการ(ที่อาจจะช่วยให้สะดวกขึ้นในการแก้โจทย์ในชุดนี้หรือชุดต่อๆไป) เกี่ยวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต($\mathrm{AM}$) ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต($\mathrm{GM}$) และค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิค($\mathrm{HM}$) ของจำนวนจริงบวก $a_1,\ldots,a_n$ ที่นิยามดังนี้ \[ \mathrm{AM}=\frac{a_1+\cdots+a_n}{n},\quad\mathrm{GM}=\sqrt[n]{a_1\times\cdots\times a_n}, \quad\mathrm{HM}=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n}} \] แล้วเราจะได้อสมการ \[ \mathrm{AM} \geqslant \mathrm{GM} \geqslant \mathrm{HM} \] และอสมการจะกลายเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $a_1=\cdots=a_n$ นั่นคือค่าทั้งหมดเท่ากัน

อสมการดังกล่าวสามารถแสดงได้ดังนี้ จากข้อ 3 ของ โจทย์คณิตศาสตร์พร้อมเฉลย ชุดที่ 1 เรารู้ว่า $\mathrm{e}^{x-1}\geqslant x$ ถ้าเราให้ $\alpha_i=\frac{a_i}{\mathrm{AM}}$ แล้วเราจะได้ \[\begin{array}{lcl} \mathrm{e}^{\alpha_1-1} & \geqslant & \alpha_1 \\ \mathrm{e}^{\alpha_2-1} & \geqslant & \alpha_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \mathrm{e}^{\alpha_n-1} & \geqslant & \alpha_n \end{array} \] เมื่อเอาอสมการทั้งหมดคูณกัน เราจะได้ \[ \mathrm{e}^{(\alpha_1+\cdots+\alpha_n)-n}=\mathrm{e}^0\geqslant\alpha_1\cdots\alpha_n=\frac{a_1\cdots a_n}{\mathrm{AM}^n} \] แต่ $\mathrm{e}^0=1$ ทำให้เราได้ $\mathrm{AM}^n\geqslant a_1\cdots a_n$ หรือ $\mathrm{AM}\geqslant\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$ นั่นคือ \[ \mathrm{AM}\geqslant \mathrm{GM} \] ถ้าเราใช้อสมการนี้กับ $\frac{1}{a_1},\cdots,\frac{1}{a_n}$ เราจะได้ \[ \frac{\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n}}{n} \geqslant \sqrt[n]{\left(\frac{1}{a_1}\cdots\frac{1}{a_n}\right)} \] จัดรูปใหม่ \[ \sqrt[n]{a_1\cdots a_n} \geqslant \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n}} \] หรือ \[ \mathrm{GM}\geqslant \mathrm{HM} \] ซึ่งสุดท้ายแล้วเราจะได้อสมการสำหรับสามค่าเฉลี่ยเป็น $\mathrm{AM}\geqslant\mathrm{GM}\geqslant \mathrm{HM}\quad\square$