โจทย์คณิตศาสตร์พร้อมเฉลย ชุดที่ 3
-
ให้ $t$ เป็นจำนวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์และฟังก์ชัน $f(t^2+t+1)=t$ จงหา $f(x)$
แนวทางการหาคำตอบ:
ให้ $x=t^2+t+1$ เมื่อเขียน $t$ ในรูปของ $x$ เราจะได้
\[
\begin{array}{rcl}
t^2+t+1-x &=& 0 \\
t &=& \frac{-1\pm\sqrt{1-4(1-x)}}{2} \\
&=& \frac{-1\pm\sqrt{4x-3}}{2}
\end{array}
\]
แต่ $t\geqslant 0$ ดังนั้น $t=\frac{\sqrt{4x-3}-1}{2}$ เมื่อแทนค่าลงในฟังก์ชัน $f$
เราจะได้ $f(x)=\frac{\sqrt{4x-3}-1}{2}$ โดยที่ $x\geqslant 1\quad\blacksquare$
-
ถ้า $x$ เป็นจำนวนจริง จงหาคำตอบของสมการ $\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}=x-5$
แนวทางการหาคำตอบ:
ถ้าสมการนี้มีคำตอบ มันจะต้องทำให้ค่าในเครื่องหมายรากที่สองทั้งสองค่าและค่าทางขวามือจะต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์
นั่นคือคำตอบจะอยู่ในเซต $[1,\infty)\cap(-\infty,2]\cap[5,\infty)$ แต่เซตดังกล่าวเป็นเซตว่าง เพราะฉะนั้นสมการนี้ไม่มีคำตอบ
$\quad\blacksquare$
-
ถ้า $x$ เป็นจำนวนจริง จงหาคำตอบของสมการ $\sqrt{22-x}-\sqrt{10-x}=2$
แนวทางการหาคำตอบ:
ให้ $S$ เป็นเซตของคำตอบที่เป็นไปได้ เราจะได้ $S=(-\infty,22]\cap(-\infty,10]=(-\infty,10]$
จะสังเกตว่า $12=(\sqrt{22-x})^2-(\sqrt{10-x})^2=(\sqrt{22-x}-\sqrt{10-x})(\sqrt{22-x}+\sqrt{10-x})$
ทำให้เราได้ $\sqrt{22-x}+\sqrt{10-x}=6$ เมื่อนำสมการนี้บวกเข้ากับสมการเริ่มต้นเราจะได้ $2\sqrt{22-x}=8$
หรือ $x=6$ ซึ่งอยู่ใน $S$ ดังนั้น $6$ เป็นคำตอบของสมการนี้
$\quad\blacksquare$
-
จงหาคำตอบของสมการพหุนาม $3x^4-2x^3+4x^2-4x+12=0$
แนวทางการหาคำตอบ:
(รากทั้งหมดทั้งจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนของพหุนามทุกดีกรีสามารถคำนวณได้ด้วยแอปพลิเคชัน รากของพหุนาม)
เนื่องจาก $x=0$ ไม่ใช่คำตอบของสมการ เราหารสมการด้วย $x$ แล้วจะได้
\[
\begin{array}{rcl}
3x^2 -2x +4 -\frac{4}{x}+\frac{12}{x^2} &=& 0 \\
3\left(x^2+\frac{4}{x^2}\right) -2\left(x+\frac{2}{x}\right) +4 &=& 0 \\
3\left(x^2+4+\frac{4}{x^2}\right) -2\left(x+\frac{2}{x}\right) +4-12 &=& 0 \\
3\left(x+\frac{2}{x}\right)^2 -2\left(x+\frac{2}{x}\right) -8 &=& 0 \\
x+\frac{2}{x} &=& 2,\;-\frac{4}{3}
\end{array}
\]
และเราจะได้สองสมการ
\[
\begin{array}{rclrcl}
x^2-2x+2 &=& 0, &\quad x^2+\frac{4}{3}x+2 &=& 0\\
x &=& 1\pm i, & x &=& -\frac{2}{3}\pm\frac{\sqrt{14}}{3}i
\end{array}
\]
ซึ่งคำตอบทั้งสี่ค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด $\quad \blacksquare$
-
จงหาผลบวก $n$ เทอมของอนุกรม $\displaystyle \frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\cdots+\frac{n}{(n+1)!}$
แนวทางการหาคำตอบ:
เราจะพิจารณาเทอมที่ $n$ ดังนี้
\[
\frac{n}{(n+1)!} = \frac{n}{n!(n+1)}=\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}
\]
ถ้าเราแทนผลบวก $n$ เทอมของอนุกรมด้วย $S_n$ เราจะได้
\[
\begin{array}{rcl}
S_n &=& \frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\cdots+\frac{n}{(n+1)!} \\
&=& \left(\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}\right) +
\left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\right) +
\left(\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}\right) +\cdots+
\left(\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}\right)\\
&=& 1-\frac{1}{(n+1)!}
\end{array}
\]
เราจะเห็นว่าเมื่อ $n$ มีค่ามากขึ้น ค่า $S_n$ จะเข้าไกล้ $1\quad\blacksquare$