โจทย์คณิตศาสตร์พร้อมเฉลย ชุดที่ 3

ให้ $t$ เป็นจำนวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์และฟังก์ชัน $f (t^{2} + t + 1) = t$ จงหา $f (x)$
แนวทางการหาคำตอบ:
ให้ $x = t^{2} + t + 1$ เมื่อเขียน $t$ ในรูปของ $x$ เราจะได้ $\begin{array}{rcl} t^{2} + t + 1 - x & = & 0 \\ t & = & \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (1 - x)}}{2} \\ = & \frac{- 1 \pm \sqrt{4 x - 3}}{2} \end{array}$ แต่ $t ⩾ 0$ ดังนั้น $t = \frac{\sqrt{4 x - 3} - 1}{2}$ เมื่อแทนค่าลงในฟังก์ชัน $f$ เราจะได้ $f (x) = \frac{\sqrt{4 x - 3} - 1}{2}$ โดยที่ $x ⩾ 1 ◼$
ถ้า $x$ เป็นจำนวนจริง จงหาคำตอบของสมการ $\sqrt{x - 1} + \sqrt{2 - x} = x - 5$
แนวทางการหาคำตอบ:
ถ้าสมการนี้มีคำตอบ มันจะต้องทำให้ค่าในเครื่องหมายรากที่สองทั้งสองค่าและค่าทางขวามือจะต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ นั่นคือคำตอบจะอยู่ในเซต $[1, \infty) \cap (- \infty, 2] \cap [5, \infty)$ แต่เซตดังกล่าวเป็นเซตว่าง เพราะฉะนั้นสมการนี้ไม่มีคำตอบ $◼$
ถ้า $x$ เป็นจำนวนจริง จงหาคำตอบของสมการ $\sqrt{22 - x} - \sqrt{10 - x} = 2$
แนวทางการหาคำตอบ:
ให้ $S$ เป็นเซตของคำตอบที่เป็นไปได้ เราจะได้ $S = (- \infty, 22] \cap (- \infty, 10] = (- \infty, 10]$
จะสังเกตว่า $12 = (\sqrt{22 - x})^{2} - (\sqrt{10 - x})^{2} = (\sqrt{22 - x} - \sqrt{10 - x}) (\sqrt{22 - x} + \sqrt{10 - x})$ ทำให้เราได้ $\sqrt{22 - x} + \sqrt{10 - x} = 6$ เมื่อนำสมการนี้บวกเข้ากับสมการเริ่มต้นเราจะได้ $2 \sqrt{22 - x} = 8$ หรือ $x = 6$ ซึ่งอยู่ใน $S$ ดังนั้น $6$ เป็นคำตอบของสมการนี้ $◼$
จงหาคำตอบของสมการพหุนาม $3 x^{4} - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x + 12 = 0$
แนวทางการหาคำตอบ:
(รากทั้งหมดทั้งจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนของพหุนามทุกดีกรีสามารถคำนวณได้ด้วยแอปพลิเคชัน รากของพหุนาม)
เนื่องจาก $x = 0$ ไม่ใช่คำตอบของสมการ เราหารสมการด้วย $x$ แล้วจะได้ $\begin{array}{rcl} 3 x^{2} - 2 x + 4 - \frac{4}{x} + \frac{12}{x^{2}} & = & 0 \\ 3 (x^{2} + \frac{4}{x^{2}}) - 2 (x + \frac{2}{x}) + 4 & = & 0 \\ 3 (x^{2} + 4 + \frac{4}{x^{2}}) - 2 (x + \frac{2}{x}) + 4 - 12 & = & 0 \\ 3 {(x + \frac{2}{x})}^{2} - 2 (x + \frac{2}{x}) - 8 & = & 0 \\ x + \frac{2}{x} & = & 2, - \frac{4}{3} \end{array}$ และเราจะได้สองสมการ $\begin{array}{rclrcl} x^{2} - 2 x + 2 & = & 0, & x^{2} + \frac{4}{3} x + 2 & = & 0 \\ x & = & 1 \pm i, & x & = & - \frac{2}{3} \pm \frac{\sqrt{14}}{3} i \end{array}$ ซึ่งคำตอบทั้งสี่ค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด $◼$
จงหาผลบวก $n$ เทอมของอนุกรม $\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \dots + \frac{n}{(n + 1)!}$
แนวทางการหาคำตอบ:
เราจะพิจารณาเทอมที่ $n$ ดังนี้ $\frac{n}{(n + 1)!} = \frac{n}{n! (n + 1)} = \frac{1}{n!} (1 - \frac{1}{n + 1}) = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n + 1)!}$ ถ้าเราแทนผลบวก $n$ เทอมของอนุกรมด้วย $S_{n}$ เราจะได้ $\begin{array}{rcl} S_{n} & = & \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \dots + \frac{n}{(n + 1)!} \\ = & (\frac{1}{1!} - \frac{1}{2!}) + (\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}) + (\frac{1}{3!} - \frac{1}{4!}) + \dots + (\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n + 1)!}) \\ = & 1 - \frac{1}{(n + 1)!} \end{array}$ เราจะเห็นว่าเมื่อ $n$ มีค่ามากขึ้น ค่า $S_{n}$ จะเข้าไกล้ $1 ◼$