โจทย์คณิตศาสตร์พร้อมเฉลย ชุดที่ 4
-
ให้ $x$ เป็นจำนวนจริง จงแก้สมการ $\displaystyle x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}$
แนวทางการหาคำตอบ:
ให้ $S$ เป็นเซตของคำตอบที่เป็นไปได้ เราจะได้
\[
S=[0,\infty)\cap\left\{x|x-\frac{1}{x}\geqslant 0\right\}\cap\left\{x|1-\frac{1}{x}\geqslant 0\right\}\cap\{x|x\ne 0\}
= [1,\infty)
\]
เพื่อความสะดวกเราจะให้ $\displaystyle A=\sqrt{x-\frac{1}{x}}$ และ $\displaystyle B=\sqrt{1-\frac{1}{x}}$
จากโจทย์เราจะได้ \[A+B=x\] และจะเห็นว่า $x-1=A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ ทำให้เราได้
\[ A-B = \frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}\]
เมื่อบวกสมการทั้งสองเข้าด้วยกันเราจะได้
\[
\begin{array}{rcl}
2A &=& 1+x-\frac{1}{x} \\
&=& 1+A^2 \\
(A-1)^2 &=& 0 \\
A &=& 1 \\
x-\frac{1}{x} &=& 1 \\
x^2-x-1 &=& 0 \\
x&=& \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}
\end{array}
\]
แต่ $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ ไม่อยู่ใน $S$ ดังนั้นสมการนี้มีเพียงคำตอบเดียวคือ $\frac{1+\sqrt{5}}{2}\quad\blacksquare$
-
จงหาผลบวก $n$ เทอมของอนุกรม $1\cdot 1!+2\cdot 2! +3\cdot 3!+\cdots+n\cdot n!$
แนวทางการหาคำตอบ:
เนื่องจาก $n\cdot n!=(n+1-1)n!=(n+1)n!-n!=(n+1)!-n!$
ถ้าให้ $S_n$ แทนผลบวกดังกล่าวเราจะได้
\[
\begin{array}{rcl}
S_n &=& 1\cdot 1!+2\cdot 2! +3\cdot 3!+\cdots+n\cdot n! \\
&=& (2!-1!)+(3!-2!)+(4!-3!)+\cdots+((n+1)!-n!) \\
&=& (n+1)!-1\quad\blacksquare
\end{array}
\]
-
ถ้า $x$ เป็นจำนวนจริง จงหาคำตอบของสมการ $\log(\sqrt{3}\sin x)+\log(-1+\sqrt{3}\sin x)=\log 6$
แนวทางการหาคำตอบ:
ให้ $S$ เป็นเซตของคำตอบที่เป็นไปได้ เราจะได้ $S=\{x|\sqrt{3}\sin x > 0\}\cap\{x|-1+\sqrt{3}\sin x > 0\}$
เพื่อความสะดวก แทน $\sqrt{3}\sin x$ ด้วย $a$ เราจะได้
\[
\begin{array}{rcl}
\log(a)+\log(-1+a) &=& \log 6 \\
\log(a^2-a) &=& \log 6 \\
a^2-a-6 &=& 0 \\
\sqrt{3}\sin x = a &=& 3,\;-2 \\
\sin x &=& \sqrt{3},\;\frac{-2}{\sqrt{3}}
\end{array}
\]
ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะ $-1\leqslant\sin x\leqslant 1$ ดังนั้นสมการนี้ไม่มีคำตอบ $\quad\blacksquare$
-
ถ้า $a\ne n\pi$ โดย $n$ เป็นจำนวนเต็ม จงแสดงว่า
\[\cos a\cdot\cos 2a\cdot\cos 4a\cdot\cos 8a\cdots\cos 2^na=\frac{\sin 2^{n+1}a}{2^{n+1}\sin a}\]
แนวทางการหาคำตอบ:
โดยการใช้ความสัมพันธ์ $2\sin a\cos a=\sin 2a$ เราจะได้
\[
\begin{array}{lcl}
2\sin a\cos a &=& \sin 2a \\
2\sin 2a\cos 2a &=& \sin 4a \\
2\sin 4a\cos 4a &=& \sin 8a \\
2\sin 8a\cos 8a &=& \sin 16a \\
\quad\vdots &\vdots & \quad\vdots \\
2\sin 2^na\cos 2^na &=& \sin 2^{n+1}a
\end{array}
\]
เมื่อคูณกันทั้งหมดและตัด $\sin$ ที่เหมือนกันทั้งสองข้างจะได้
\[
\begin{array}{rcl}
2^{n+1}\sin a\cdot\cos a\cdot\cos 2a\cdot\cos 4a\cdot\cos 8a\cdots\cos 2^na &=& \sin 2^{n+1}a \\
\cos a\cdot\cos 2a\cdot\cos 4a\cdot\cos 8a\cdots\cos 2^na&=&\frac{\sin 2^{n+1}a}{2^{n+1}\sin a}\quad \blacksquare
\end{array}
\]
-
จงแสดงว่า $|\sin kx|\leqslant k|\sin x|$ เมื่อ $x$ เป็นจำนวนจริงและ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวก
แนวทางการหาคำตอบ:
เนื่องจาก $\sin kx=\sin((k-1)x+x)=\sin(k-1)x\cos x+\cos(k-1)x\sin x$
เราจะได้
\[
\begin{array}{rcl}
|\sin kx| &=&|\sin(k-1)x\cos x+\cos(k-1)x\sin x| \\
&\leqslant& |\sin(k-1)x\cos x|+|\cos(k-1)x\sin x| \\
&\leqslant& |\sin(k-1)x|+|\sin x| \\
&\leqslant& |\sin(k-2)x|+2|\sin x| \\
&\leqslant& |\sin(k-3)x|+3|\sin x| \\
&\vdots&\vdots \\
&\leqslant& |\sin(0)x|+k|\sin x|
\end{array}
\]
นั่นคือ $|\sin kx|\leqslant k|\sin x| \quad\blacksquare$