โจทย์คณิตศาสตร์พร้อมเฉลย ชุดที่ 5
-
จงหาค่าที่มากกว่าระหว่าง $\sqrt{7}$ และ $2^{\sqrt{3}}$
แนวทางการหาคำตอบ:
เรารู้ว่า $7<8$ ดังนั้น $\log_2 7 < \log_2 8 = 3 < 2\sqrt{3}$
ทำให้เราได้ $\frac{1}{2}\log_2 7 < \sqrt{3}$ หรือ $7^\frac{1}{2} < 2^\sqrt{3}\quad\blacksquare$
-
ให้ $x$ เป็นจำนวนจริง จงหาคำตอบของอสมการ $\displaystyle \frac{1+x^{2566}}{1-|x|}\leqslant 0$
แนวทางการหาคำตอบ:
ให้ $S$ เป็นเซตของคำตอบที่เป็นไปได้ของอสมการ เราจะได้ \[S=\mathbb{R}-\{-1,1\}\]
เนื่องจาก $1+x^{2566}$ เป็นบวกเสมอเราจะไม่นำมาคิด หลังจากนั้นคูณทั้งสองข้างของอสมการด้วย $(1-|x|)^2$
เราจะได้ $1-|x|\leqslant 0$ หรือ $|x|\geqslant 0$ ซึ่งจะได้ $x$ อยู่ในช่วง $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$
แต่ $\pm 1$ ไม่อยู่ใน $S$ เพราะฉะนั้นคำตอบของอสมการคือ $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)\quad\blacksquare$
-
ถ้า $x$ เป็นจำนวนจริงและฟังก์ชัน $f$ เป็นไปตามความสัมพันธ์ $3f(x+4)+5f(3-x)=7x+2$ จงหา $f(x)$
แนวทางการหาคำตอบ:
เราจะสลับที่ $x+4$ กับ $3-x$ ดังนี้ให้ $3-x=y+4$ เราจะได้ $x=-1-y$ ดังนั้นเมื่อเปลี่ยน $x$ เป็น $-1-x$ ในความสัมพันธ์ข้างต้นเราจะได้
$3f(3-x)+5f(x+4)=-7x-5$
ซึ่งเราจะได้สองความสัมพันธ์ที่คล้ายกับระบบสมการเชิงเส้นดังนี้
\[
\begin{array}{rcl}
3f(x+4)+5f(3-x) &=& 7x+2 \\
5f(x+4)+3f(3-x) &=& -7x-5
\end{array}
\]
และเราหา $f(x+4)$ หรือจะหา $f(3-x)$ ก็ได้ จาก
\[
f(x+4) = \frac{\left|\begin{array}{rr}
7x+2 & 5 \\
-7x-5 & 3
\end{array}\right|}{
\left|\begin{array}{rr}
3 & 5\\
5 & 3
\end{array}\right|
}
= -\frac{1}{16}(56x+31)
\]
หลังจากนั้นแทน $x$ ด้วย $x-4$ เราจะได้ $f(x)=-\frac{1}{16}(56x-193) \quad\blacksquare$
-
จงหาคำตอบของสมการ $\displaystyle \frac{1}{x^2}-\frac{4}{(x+2)^2}=1$
แนวทางการหาคำตอบ:
คำตอบสมการนี้ถ้ามี จะอยู่ในเซต \[S=\mathbb{R}-\{-2,0\}\]
จัดรูปสมการใหม่เราจะได้
\[
\begin{array}{rcl}
\frac{(x+2)^2}{x^2}-4 &=& (x+2)^2 \\
\frac{(x+2)^2}{x^2}-4(x+2) &=& (x+2)^2-4(x+2)+4 = (x+2-2)^2 \\
(x+2)\left\{\frac{x+2}{x^2}-4 \right\} &=& x^2 \\
\frac{x+2}{x^2}-4 &=& \frac{x^2}{x+2} \\
\left(\frac{x+2}{x^2}\right)^2-4\left(\frac{x+2}{x^2}\right)-1 &=& 0\\
\frac{x+2}{x^2} &=& 2\pm\sqrt{5}
\end{array}
\]
และเราจะได้สองสมการ
\[
\begin{array}{rclrcl}
(2+\sqrt{5})x^2-x-2&=&0, &\quad (2-\sqrt{5})x^2-x-2 &=& 0 \\
x &=& \frac{1\pm\sqrt{17+8\sqrt{5}}}{2(2+\sqrt{5})},&\quad\text{สมการนี้ไม่มีคำตอบ}
\end{array}
\]
เนื่องจากค่าทั้งสองอยู่ใน $S$ สมการนี้จึงมีคำตอบเป็น $\frac{1+\sqrt{17+8\sqrt{5}}}{2(2+\sqrt{5})}$ และ $\frac{1-\sqrt{17+8\sqrt{5}}}{2(2+\sqrt{5})}\quad\blacksquare$
-
จงแก้สมการ $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=A$ เมื่อ $A=\sqrt{2},1,2$
แนวทางการหาคำตอบ:
ให้ $S$ เป็นเซตของคำตอบที่เป็นไปได้ เราจะได้ \[S\subset [1/2,\infty)\]
เมื่อยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการและจัดรูปใหม่ เราจะได้
\[
\begin{array}{rcl}
2x+2\sqrt{x^2-(2x-1)} &=& A^2 \\
x+|x-1| &=& \frac{A^2}{2}
\end{array}
\]
แยกพิจารณาเป็นสองกรณี
-
กรณี 1: $x\geqslant 1$ จะได้ $x+x-1=\frac{A^2}{2}$ นั่นคือ $\displaystyle x=\frac{1}{2}\left(\frac{A^2}{2}+1\right)$
-
กรณี 2: $x<1$ จะได้ $x-x+1=1=\frac{A^2}{2}$
เราจะตอบคำถามตามค่า $A$ ดังนี้
$A=\sqrt{2}$ จะได้คำตอบของกรณีแรกคือ $\{1\}$ และคำตอบของกรณีหลังคือ $(-\infty,1)$ หายูเนียนของเซตจะได้
$(-\infty,1]$ หาอินเตอร์เซกชันของเซตนี้กับ $S$ จะได้ $[1/2,1]$ ซึ่งเป็นคำตอบเมื่อ $A=\sqrt{2}$
$A=1$ จะพบว่าไม่มีคำตอบทั้งสองกรณี
$A=2$ จะได้คำตอบของกรณีแรกคือ $\{3/2\}$ และคำตอบของกรณีหลังคือเซตว่าง ดังนั้น $3/2$ จึงเป็นคำตอบเพียงค่าเดียวเมื่อ $A=2\quad\blacksquare$