โจทย์คณิตศาสตร์ ชุดที่ 6

ชัดเจน $x=2$ เป็นคำตอบหนึ่งของสมการนี้ แต่เราต้องการหาคำตอบทั้งหมด ถ้าเราให้ $f(x)=x^2$ และ $g(x)=2^x$ เราจะได้ว่ากราฟของ $f(x)$ เป็นพาราโบลามีแกน $y$ เป็นแกนสมมาตรและผ่านจุด $(0,0)$ ส่วนกราฟของ $g(x)$ เป็นเอกซโปเนนเชียลซึ่งเป็นฟังก์ชันเพิ่มและตัดแกน $y$ ที่จุด $(0,1)$ จากตรงนี้เราจะได้ว่า $f(x)$ ตัดกับ $g(x)$ หนึ่งจุดที่ $x<0$ และค่านี้สามารถคำนวณได้จากแอปพลิเคชัน สมการไม่เชิงเส้น ซึ่งจะได้ $x=-0.7666$
ที่นี้เรามาดูในกรณี $x>0$ โดยการใส่ $\ln$ ทั้งสองข้างของสมการข้างต้นและจัดรูปใหม่เราจะได้ $\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln 2}{2}$ และจากกราฟในข้อ 2 ของ โจทย์คณิตศาสตร์พร้อมเฉลย ชุดที่ 1 เรารู้ว่า $\frac{\ln x}{x}$ ไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้นจะมี $x_1<\mathrm{e}$ และ $x_2>\mathrm{e}$ ที่ทำให้ $\frac{\ln x_1}{x_1}=\frac{\ln x_2}{x_2}$ และสำหรับ $\frac{\ln 2}{2}$ เราจะได้ \[ \frac{\ln 2}{2} = \frac{2\times\ln 2}{2\times 2} = \frac{\ln 4}{4} \] ดังนั้นสมการนี้มีสามคำตอบคือ $-0.7666,2,4\quad\blacksquare$

คำตอบที่เป็นไปได้จะอยู่เซต \[S=\{x|x\ne-1\}\] จัดรูปสมการใหม่จะได้ \[ \begin{array}{rcl} x^2\{(x+1)^2+1\} &=& 3(x+1)^2 \\ x^2\{x^2+2(x+1)\} &=& 3(x+1)^2 \\ x^4 + 2x^2(x+1)-3(x+1)^2 &=& 0 \\ \{x^2+3(x+1)\}\{x^2-(x+1)\} &=& 0 \\ x &=& \frac{-3\pm\sqrt{3}i}{2},\frac{1\pm\sqrt{5}}{2} \end{array} \] ซึ่งทั้งสี่ค่าต่างก็อยู่ใน $S$ ดังนั้นสมการนี้มีสี่คำตอบ แต่ถ้าสนใจเฉพาะจำนวนจริง จะมีเพียงสองคำตอบเท่านั้นคือ $\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\quad\blacksquare$

จะสังเกตว่า $2x-3 = (x-1)+(x-2)$ ดังนั้นเราจะใช้สูตรผลบวกยกกำลังสามดังนี้ \[ \begin{array}{rcl} (a+b)^3 &=& a^3 +3a^2b +3ab^2 + b^3 \\ &=& a^3 + b^3 + 3ab(a+b) \end{array} \] โดยเราให้ $a=\sqrt[3]{x-1}$ และ $b=\sqrt[3]{x-2}$ และโจทย์ให้มา $a+b=\sqrt[3]{2x-3}$ เมื่อแทนลงในสูตรดังกล่าว เราจะได้ \[ \begin{array}{rcl} 2x-3 &=& (x-1)+(x-2)+3\sqrt[3]{x-1}\sqrt[3]{x-2}\sqrt[3]{2x-3} \\ 0 &=& (x-1)(x-2)(2x-3) \end{array} \] เพราะฉะนั้นเซตของคำตอบคือ $\{1,2,\frac{3}{2}\} \quad\blacksquare$

เนื่องจาก $x=0$ ไม่ใช่คำตอบของสมการนี้ เราหารตลอดด้วย $x^2$ และรูปใหม่จะได้ \[ \begin{array}{rcl} 9x^2 + \frac{1}{x^2} -2\left(3x+\frac{1}{x} \right) - 18 &=& 0 \\ \left(3x+\frac{1}{x} \right)^2 -2\left(3x+\frac{1}{x} \right) - 24 &=& 0 \\ 3x+\frac{1}{x} &=& 6,\;-4 \end{array} \] ซึ่งเราจะได้สองสมการ \[ \begin{array}{rclcrcl} 3x+\frac{1}{x} &=& 6 &\text{และ} & 3x+\frac{1}{x} &=& -4 \\ 3x^2 -6x +1 &=& 0 & & 3x^2 +4x +1 &=& 0 \\ x &=& \frac{3\pm\sqrt{6}}{3} & & x &=& -\frac{1}{3}, -1 \end{array} \] เพราะฉะนั้นเซตของคำตอบคือ $\{\frac{3-\sqrt{6}}{3}, \frac{3+\sqrt{6}}{3},-\frac{1}{3},-1\} \quad\blacksquare$

รากของพหุนามรวมทั้งโจทย์ข้อนี้สามารถคำนวณได้โดยใช้แอปพลิเคชัน รากของพหุนาม
เมื่อเปรียบเทียบสมการนี้กับสูตรผลบวกยกกำลังสาม \[(a+b)^3 -3ab(a+b)-(a^3+b^3)=0\] เราจะให้ $x=a+b$ และ $a^3+b^3=\sqrt{3}$ ซึ่งจะได้ $b^3=\sqrt{3}-a^3$ และเทอมตรงกลาง $ab=1$ หรือ $a^3b^3=1$ ซึ่งเราจะหา $a^3$ ได้ดังนี้ \[ \begin{array}{rcl} a^3b^3 &=& 1 \\ a^3(\sqrt{3}-a^3) &=& 1 \\ a^6 -\sqrt{3}a^3 +1 &=& 0 \\ a^3 &=& \frac{\sqrt{3}\pm i}{2} \end{array} \] และจะได้ $b^3 = \sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}\pm i}{2}=\frac{\sqrt{3}\mp i}{2}$ แต่เนื่องจาก $a^3$ เป็นสังยุคกับ $b^3$ เราจะให้ \[ \begin{array}{rclcl} a^3 &=& \frac{\sqrt{3}+i}{2} &=& \mathrm{e}^{\left(\frac{\pi}{6}+2n\pi\right)i},\quad n\text{ เป็นจำนวนเต็ม}\\ b^3 &=& \frac{\sqrt{3}-i}{2} &=& \mathrm{e}^{\left(-\frac{\pi}{6}+2m\pi\right)i},\quad m\text{ เป็นจำนวนเต็ม} \end{array} \] เมื่อหารากที่สามเราจะได้ \[ \begin{array}{rcl} a &=& \mathrm{e}^{\left(\frac{\pi}{18}+\frac{n}{3}2\pi\right)i},\quad n=0,1,2\\ b &=& \mathrm{e}^{\left(-\frac{\pi}{18}+\frac{m}{3}2\pi\right)i},\quad m=0,1,2 \end{array} \] เพราะฉะนั้นจะได้ $a+b$ ทั้งหมด 9 ค่าแต่จะมีเพียง 3 ค่าเท่านั้นที่เป็นคำตอบของสมการข้างต้นโดยค่าแรกคือ $\mathrm{e}^{\frac{\pi}{18}i}+\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{18}i}=2\cos\frac{\pi}{18}$ และเราจะใช้ค่านี้ในการหาอีกสองราก แทนที่จะหาจาก 8 ค่าที่เหลือ
เนื่องจาก $2\cos\frac{\pi}{18}$ เป็นรากของสมการ ดังนั้น $(x-2\cos\frac{\pi}{18})$ หาร $x^3 -3x-\sqrt{3}$ ลงตัว และจะได้ผลหารแบบสังเคราะห์ดังนี้ \[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & -3 & -\sqrt{3} & 2\cos\frac{\pi}{18} \\ & 2\cos\frac{\pi}{18} & 4\cos^2\frac{\pi}{18} & & \\ \hline 1 & 2\cos\frac{\pi}{18} & 4\cos^2\frac{\pi}{18}-3 & & \end{array} \] แถวที่สามคือสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองซึ่งหารากได้จากสูตร \[ \begin{array}{rcl} x &=& \frac{-2\cos\frac{\pi}{18}\pm\sqrt{\left(2\cos\frac{\pi}{18}\right)^2-4\left(4\cos^2\frac{\pi}{18}-3\right)}}{2} \\ &=& \frac{-2\cos\frac{\pi}{18}\pm 2\sqrt{3}\sin\frac{\pi}{18}}{2} \\ &=& 2\left(\cos\frac{2\pi}{3}\cos\frac{\pi}{18}\pm\sin\frac{2\pi}{3}\sin\frac{\pi}{18}\right) \\ &=& 2\cos\frac{11\pi}{18},\;2\cos\frac{13\pi}{18} \end{array} \] เพราะฉะนั้นสมการข้างต้นมีสามคำตอบคือ $2\cos\frac{\pi}{18},\;2\cos\frac{11\pi}{18},\;2\cos\frac{13\pi}{18}\quad\blacksquare$

คำตอบของสมการนี้จะอยู่ในเซต \[ S = \left\{x|4-x^2\geqslant 0\;\text{และ}\;\frac{x}{2x+\sqrt{3}}\geqslant 0\right\} = \left[-2,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right]\cup[0,2] \] เราจะหาคำตอบของสมการนี้โดยใช้สองวิธีที่แตกต่างกันดังนี้

1. จะสังเกตว่า $-\sqrt{3}$ เป็นคำตอบหนึ่ง ดังนั้นเราจะใช้วิธียกกำลังตามปกติและจัดรูปดังนี้ \[ \begin{array}{rcl} (2x+\sqrt{3})^2(4-x^2) &=& x^2 \\ x^4 + \sqrt{3}x^3 -3x^2 -4\sqrt{3}x -3 &=& 0 \end{array} \] หาผลหารของการหารพหุนามนี้ด้วย $(x+\sqrt{3})$ จะได้ \[ \begin{array}{rrrrr|r} 1 & \sqrt{3} & -3 & -4\sqrt{3} & -3 & -\sqrt{3} \\ & -\sqrt{3} & 0 & 3\sqrt{3} & 3 & \\ \hline 1 & 0 & -3 & -\sqrt{3} & 0 & \end{array} \] ผลหารคือ $x^3 -3x-\sqrt{3}$ ซึ่งจากโจทย์ข้อที่แล้วเรารู้ว่าพหุนามนี้มีสามรากคือ $2\cos\frac{\pi}{18},\;2\cos\frac{11\pi}{18},\;2\cos\frac{13\pi}{18}$ เราสามารถคำนวณค่าเหล่านี้ออกมาเป็นตัวเลขโดยใช้แอปพลิเคชัน คำนวณทรานสโพสของเมตริกซ์ โดยใส่ข้อมูลเมตริกซ์เป็น 2cos(pi/18) 2cos(11pi/18) 2cos(13pi/18) และเราจะได้ผลเป็น 1.9696 -0.6840 -1.2856 จะพบว่า $2\cos\frac{11\pi}{18}$ ไม่อยู่ใน $S$ ดังนั้นคำตอบมีเพียงสามค่าคือ $-\sqrt{3},\;2\cos\frac{\pi}{18},\;2\cos\frac{13\pi}{18}$
2. เปลี่ยนสมการเป็นสมการตรีโกณมิติโดยแทน $\frac{x}{2}=\cos\theta$ เราจะได้ \[ \begin{array}{rcl} (2x+\sqrt{3})\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2} &=& \frac{x}{2} \\ (4\cos\theta+\sqrt{3})\sqrt{1-\cos^2\theta} &=& \cos\theta \\ 2\cos\theta|\sin\theta| &=& \frac{1}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}|\sin\theta| \\ 2\cos\theta|\sin\theta| &=& \sin\frac{5\pi}{6}\cos\theta + \cos\frac{5\pi}{6}|\sin\theta| \end{array} \] กรณีที่ $\sin\theta\geqslant 0$ เราจะได้ \[ \begin{array}{rcl} \sin 2\theta &=& \sin(\frac{5\pi}{6}+\theta) \\ 2\theta &=& \frac{5\pi}{6}+\theta+2n\pi,\;\pi-\left(\frac{5\pi}{6}+\theta\right)+2n\pi,\; n\in\mathbb{Z} \\ \theta &=& \frac{5\pi}{6},\;\frac{\pi}{18},\;\frac{13\pi}{18} \end{array} \] กรณีที่ $\sin\theta < 0$ เราจะได้ \[ \begin{array}{rcl} \sin (2\theta) &=& \sin(\theta-\frac{5\pi}{6}) \\ 2\theta &=& \theta-\frac{5\pi}{6}+2n\pi,\;\pi-\left(\theta-\frac{5\pi}{6}\right)+2n\pi,\; n\in\mathbb{Z} \\ \theta &=& \frac{7\pi}{6},\;\frac{11\pi}{18},\;\frac{23\pi}{18},\;\frac{35\pi}{18} \end{array} \] เนื่องจาก $\cos\frac{7\pi}{6}=\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos\frac{23\pi}{18}=\cos\frac{13\pi}{18}$, $\cos\frac{35\pi}{18}=\cos\frac{\pi}{18}$ เราจะได้คำตอบของสมการข้างต้นเป็น $-\sqrt{3},\;2\cos\frac{\pi}{18},\;2\cos\frac{13\pi}{18}$ เช่นเดียวกับวิธีแรก $\quad\blacksquare$

เราจะใช้สูตรผลต่างยกกำลังสาม $(A-B)^3 = A^3-B^3-3AB(A-B)$ โดยให้ $A=\sqrt[3]{x+1},\;B=\sqrt[3]{x-1},\;A-B=a$ แล้วเราจะได้ \[ \begin{array}{rcl} (x+1)-(x-1)-3a\sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{x-1} &=& a^3 \\ \sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{x-1} &=& \frac{2-a^3}{3a} \\ x^2-1^2 &=& \left(\frac{2-a^3}{3a}\right)^3 \\ x &=& \pm\sqrt{1+\left(\frac{2-a^3}{3a}\right)^3} \end{array} \] จะหา $x$ ได้ค่าที่อยู่ในรากที่สองจะต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ นั่นคือ \[ \begin{array}{rcl} 1+\left(\frac{2-a^3}{3a}\right)^3 &\geqslant& 0 \\ \left\{1+\left(\frac{2-a^3}{3a}\right)\right\}\left\{1-\left(\frac{2-a^3}{3a}\right)+\left(\frac{2-a^3}{3a}\right)^2 \right\} &\geqslant& 0 \\ 1+\left(\frac{2-a^3}{3a}\right) &\geqslant& 0\quad\text{เพราะเทอมที่สองมากกว่าศูนย์เสมอ} \\ a(a-2)(a+1)^2 &\leqslant& 0 \\ a&\in& \{-1\}\cup[0,2] \end{array} \] แต่เนื่องจาก $\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1}$ มากกว่าศูนย์เสมอ ดังนั้นค่าของ $a$ ต้องอยู่ในช่วง $(0,2]$ เท่านั้น $\quad\blacksquare$

จัดรูปสมการใหม่เราจะได้ \[ \begin{array}{rcl} (x^4-2x^2-3)+(x^3-3x) &=& 0 \\ (x^2+1)(x^2-3)+x(x^2-3) &=& 0 \\ (x^2-3)(x^2+x+1) &=& 0 \\ x &=& \pm\sqrt{3},\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\quad\blacksquare \end{array} \]

จัดรูปสมการใหม่เราจะได้ \[2\sqrt[3]{2\left(\frac{x}{2}\right)-1}=\left(\frac{x}{2}\right)^3+1\] ถ้าเราให้ $y=\sqrt[3]{2\left(\frac{x}{2}\right)-1}$ และจัดรูปใหม่เราจะได้ระบบสมการ \[ \begin{array}{rcl} 2y &=& \left(\frac{x}{2}\right)^3 +1 \\ 2\left(\frac{x}{2}\right) &=& y^3 +1 \end{array} \] เมื่อนำสมการทั้งสองลบกันจะได้ \[ \begin{array}{rcl} 2\left(y-\frac{x}{2}\right) &=& \left(\frac{x}{2}\right)^3 -y^3 \\ 2\left(y-\frac{x}{2}\right) + y^3-\left(\frac{x}{2}\right)^3 &=& 0 \\ \left(y-\frac{x}{2}\right)\left\{ y^2 + y\left(\frac{x}{2}\right)+\left(\frac{x}{2}\right)^2+2 \right\} &=& 0 \\ y&=&\frac{x}{2} \quad\text{เพราะเทอมที่สองมากกว่าศูนย์เสมอ} \end{array} \] เพราะฉะนั้นจะได้ \[ \begin{array}{rcl} \frac{x}{2} &=& \sqrt[3]{2\left(\frac{x}{2}\right)-1} \\ \left(\frac{x}{2}\right)^3 -2\left(\frac{x}{2}\right)+1 &=& 0 \\ \left\{\left(\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{x}{2}\right)-1\right\}\left(\frac{x}{2}-1\right) &=& 0 \\ x &=& 2,\;-1\pm\sqrt{5} \quad\blacksquare \end{array} \]

จาก $S$ ที่ให้มาเราบวกด้วย $n=1+1+\cdots+1$ และจัดรูปใหม่เราจะได้ \[ \begin{array}{rcl} S+n &=& (1+x_1)+(1+x_2)+\cdots+(1+x_n) \\ \frac{S}{n}+1 &=& \frac{(1+x_1)+(1+x_2)+\cdots+(1+x_n)}{n}\\ &\geqslant& \sqrt[n]{(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)}\quad\text{จากอสมการ}\;\mathrm{AM}\geqslant\mathrm{GM}\\ \left(\frac{S}{n}+1\right)^n &\geqslant& (1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n) \end{array} \] พิจารณาเทอมที่ $k$ ของการกระจาย $\left(\frac{S}{n}+1\right)^n$ ดังนี้ \[ \begin{array}{rcl} \binom{n}{k}\left(\frac{S}{n}\right)^k &=& \frac{n!}{(n-k)!k!}\frac{S^k}{n^k} \\ &=& \left(\frac{n}{n}\times\frac{n-1}{n}\times\cdots\times\frac{n-k+1}{n}\right)\frac{S^k}{k!} \\ &\leqslant& \frac{S^k}{k!}\quad\text{เพราะค่าในวงเล็บน้อยกว่า 1} \end{array} \] ดังนั้นเราจะได้ \[ \sum_{k=0}^n\frac{S^k}{k!} \geqslant \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\left(\frac{S}{n}\right)^k=\left(\frac{S}{n}+1\right)^n \geqslant (1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n) \] นั่นคือ \[ (1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\leqslant 1+S+\frac{S^2}{2!}+\frac{S^3}{3!}+\cdots+\frac{S^n}{n!} \quad\blacksquare \]