โจทย์คณิตศาสตร์ ข้อสอบคณิตศาสตร์ แบบฝึกหัดคณิตศาสตร์ ม. ปลาย ชุดที่ 1 เรื่องพหุนาม

จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้

ในแบบฝึกหัดนี้เราสามารถตรวจคำตอบโดยใช้แอปพลิเคชัน รากของพหุนาม ได้ดังนี้ ถ้า $r$ เป็นรากของสมการ $p(x)=0$ แล้วจะได้ $(x-r)$ เป็นตัวประกอบของพหุนาม $p(x)$ ยกตัวอย่าง ต้องการแยกตัวประกอบของพหุนาม $x^3 -8x^2 +17x -10$ เราใส่สัมประสิทธิ์และเลขยกกำลังของ $x$ ดังนี้

แล้วเราจะได้ผลเป็น

พหุนามมี 3 รากดังนี้
1.0000
2.0000
5.0000

นั่นคือ $(x-1)(x-2)(x-5)$ เป็นตัวประกอบของพหุนาม $x^3 -8x^2 +17x -10$

$x^4 +6x^3 +9x^2 +100$
$x^4 +2x^3 -24x^2 +72$
$x^4 -3x^2 +4$
$x^4 -30x^2 +289$
$x^6 -6x^4 -4x^3 +9x^2 +12x +4$
$x^5 -10x^3 -20x^2 -15x -4$
$x^6 -15x^4 +8x^3 +51x^2 -72x +27$
$x^5 -6x^4 +16x^3 -24x^2 +20x -8$
$x^6 -2x^5 -x^4 -2x^3 +5x^2 +4x+4$
$x^7 -3x^6 +5x^5 -7x^4 +7x^3 -5x^2 +3x -1$
$x^8 +2x^7 +5x^6 +6x^5 +8x^4 +6x^3 +5x^2 +2x +1$
$x^3 -6x^2 +15x -14$
$x^4 -2x^3 -8x^2 +13x -24$
$x^5 -7x^3 -12x^2 +6x +36$
$6x^4 +19x^3 -7x^2 -26x +12$
$24x^4 -42x^3 -77x^2 +56x +60$
$x^5 -2x^4 -4x^3 +4x^2 -5x +6$
$24x^5 +10x^4 -x^3 -19x^2 -5x +6$
$10x^4 -13x^3 +15x^2 -18x -24$
$x^4 +2x^3 -13x^2 -38x -24$

จงหาคำตอบของพหุนามดีกรีสามต่อไปนี้

เช่นเดียวกับแบบฝึกหัดที่แล้วเราสามารถตรวจคำตอบโดยใช้แอปพลิเคชัน รากของพหุนาม

$x^3 -6x+9=0$
$x^3 +2x-3=0$
$x^3 -x^2 -4x +1=0$
$3x^3 -5x^2 +1=0$
$5x^3 -6x^2 +7x -8=0$
$x^3 -3x+1=0$
$x^3 -x^2 -2x+1=0$
$x^3 +2x^2 +4x +1=0$
$x^3 +x^2 +3x +4=0$
$x^3 +3x^2 +3x -3=0$

จงทำให้ส่วนอยู่ในรูปของจำนวนเต็ม

$\displaystyle\frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$
$\displaystyle\frac{1}{1+\sqrt[3]{2}+2\sqrt[3]{4}}$
$\displaystyle\frac{7}{1-\sqrt[4]{2}+\sqrt{2}}$

จงหาผลคูณของพหุนามต่อไปนี้

เราสามารถตรวจคำตอบกับแอปพลิเคชัน การบวกลบคูณหารพหุนามได้ ยกตัวอย่าง ต้องการหาผลคูณ $(x-1)(x-2)$ เราใส่สัมประสิทธิ์และเลขยกกำลังของ $x$ ในช่อง $A(x)$ ดังนี้

1  1
-1  0

และใส่ในช่อง $B(x)$

1  1
-2  0

แล้วใส่ * ในช่องเครื่องหมาย แล้วจะได้ผลเป็น

 1.0000   2
-3.0000   1
 2.0000   0

ซึ่งหมายถึง $x^2 -3x +2$

$(2x^4-x^3+x^2+x+1)\times(x^2-3x+1)$
$(x^3+x^2-x-1)\times(x^2-2x-1)$

จงหาผลหารและเศษของการหารของพหุนามต่อไปนี้

เราสามารถตรวจคำตอบกับแอปพลิเคชัน การบวกลบคูณหารพหุนามได้ ยกตัวอย่าง ต้องการหาการหาร $\displaystyle\frac{8x^7+4x^3+2}{2x^5+1}$ เราใส่สัมประสิทธิ์และเลขยกกำลังของ $x$ ในช่อง $A(x)$ ดังนี้

8   7
4   3
2   0

และใส่ในช่อง $B(x)$ เป็นข้อมูล

2   5
1   0

แล้วใส่ / ในช่องเครื่องหมาย แล้วจะได้ผลเป็น

ผลหารที่ได้
   4.0000   2

เศษของการหารคือ
   4.0000   3
  -4.0000   2
   2.0000   0

หมายถึงว่า ผลของการหารคือ $4x^2$ และเศษของการหารคือ $4x^3-4x^2+2$ ถ้าเป็นการหารลงตัวจะไม่มีเศษของการหาร

$(2x^4-3x^3+4x^2-5x+6)\div(x^2-3x+1)$
$(x^3-3x^2-x-1)\div(3x^2-2x+1)$

ถ้า $(x+1)^2$ หารพหุนาม $x^5 -ax^2 -ax+1$ ลงตัว จงหาค่าของ $a$

ถ้า $(x-1)^2$ หารพหุนาม $ax^4 +bx^3 +1$ ลงตัว จงหาค่าของ $a$ และ $b$

ถ้า $a$, $b$, และ $a+b$ เป็นรากของสมการ $36x^3 -12x^2 -5x+1=0$ จงหาค่าของ $a$ และ $b$

ถ้า $r$ และ $2r$ เป็นรากของสมการ $x^3 -7x +a=0$ จงหาค่าของ $a$ และรากทั้งหมดของสมการ

ถ้าสมการ $2x^3 -x^2 -7x +a=0$ มีผลบวกของสองรากเท่ากับ 1 จงหาค่าของ $a$